Nacque da genitori di origine italiana, Vicente Piazzolla (chiamato "Nonino" dai figli di Astor), figlio di Pantaleone, un pescatore emigrato in Argentina da Trani, in Puglia, ed Asunta Manetti, la cui famiglia invece proveniva dalla provincia di Massa-Carrara. Figlio unico, nel 1925 si trasferì con la famiglia a New York, dove visse fino all'età di 16 anni.
Conosciuto nella sua terra natale come El Gran Ástor o El Gato (il Gatto, per la sua abilità e ingegno), è considerato il più importante musicista di tango della seconda metà del XX secolo (Carlos Gardel è il più importante della prima metà). Fu una figura controversa nei confronti degli argentini, sia musicalmente che politicamente.
